Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Verschwindungsbedingung  $V(𝔟)\subseteq V(F)$  in  $V=V(𝔞)$  besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort  $V(𝔞+𝔟)=V(𝔞)\cap V(𝔟)\subseteq V(F)$  gilt, wobei jetzt $F$ ein repräsentierendes Polynom aus $K[X_1,\dots ,X_n]$ und $𝔟$ das Urbildideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein  $r\in \mathbb{N}$  mit  $F^r\in 𝔞+𝔟$.  Dies bedeutet modulo $𝔞$, dass in $R$ die Beziehung  $F^r\in 𝔟$  gilt.

Zur bewiesenen Aussage