Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Verschwindungsbedingung ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in ${}V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort ${}V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt ${}F$ ein repräsentierendes Polynom aus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}{\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${}{\mathfrak {a}}$, dass in ${}R$ die Beziehung ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage