Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem ${}K$ -Algebrahomomorphismus

P\colon S\longrightarrow K

wird einfach die Hintereinanderschaltung

R{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K

zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist dabei

{}{\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}

Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.