Beweis
Die Existenz der Abbildung ist klar, dem
-Algebrahomomorphismus
-
wird einfach die Hintereinanderschaltung
-
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge
ist dabei
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb255e1e409df3dd7b1caab9199025b690700f49)
Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.