Affine Varietäten/K-Spektrum/Punktierte affine Gerade als Hyperbel/Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge

${}D(X)={\left\{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}\mid P\neq 0\right\}}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}\,.$

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist ${}X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${}{\frac {1}{X}}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion ${}D(X)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ die abgeschlossene Inklusion

$D(X)\longrightarrow V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {1}{x}}\right),$

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich ${}K[X]_{X}=K[X,X^{-1}$ und ${}K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).