Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ selbst das ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra ist (nämlich von ${}R_{f}$, das über ${}R$ von ${}1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,$

(siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]\longrightarrow (K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T]\longrightarrow ((K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T])/(Tf-1)\cong R_{f}$

eine (nach Fakt  (3)) abgeschlossene Einbettung von ${}D(f)$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$. Ist ${}\psi$ die Gesamtinklusion

${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$

so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als

$\psi \times {\frac {1}{f}}\colon D(f)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.