Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom ${}0$ überall und das konstante Polynom ${}1$ nirgendwo verschwindet.

(3). Es sei ${}P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir  ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$.  D.h.  ${}f(P)=0$  für jedes Polynom  ${}f\in {\mathfrak {a}}_{1}$.  Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${}{\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt

${}h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$

mit  ${}f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$.  Damit ist  ${}h(P)=0$,  da stets  ${}f_{1j}(P)=0$  gilt, also gehört ${}P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen ${}P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist  ${}P\notin V{\left({\mathfrak {a}}_{i}\right)}$  für alle  ${}i=1,\ldots ,k$.  D.h. es gibt  ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$  mit  ${}f_{i}(P)\neq 0$.  Dann ist aber  ${}{\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\right)}(P)\neq 0$  und  ${}f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$,  sodass ${}P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Es sei  ${}P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.  Dann ist  ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$  für alle  ${}i\in I$  genau dann, wenn  ${}f(P)=0$  ist für alle  ${}f\in {\mathfrak {a}}_{i}$  und für alle  ${}i\in I$.  Dies ist genau dann der Fall, wenn  ${}f(P)=0$  ist für alle ${}f$ aus der Summe dieser Ideale.

Zur bewiesenen Aussage