(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom
überall und das konstante Polynom
nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei
ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir
. D.h.
für jedes Polynom
. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal
hat die Gestalt
-

mit
. Damit ist
, da stets
gilt, also gehört
zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen
nicht zu der Vereinigung links, so ist
für alle
. D.h. es gibt
mit
. Dann ist aber
und
, so dass
nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
(4). Es sei
. Dann ist
für alle
genau dann, wenn
ist für alle
und für alle
. Dies ist genau dann der Fall, wenn
ist für alle
aus der Summe dieser Ideale.