Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom ${}0$ überall und das konstante Polynom ${}1$ nirgendwo verschwindet.

(3). Es sei ${}P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$. D.h. ${}f(P)=0$ für jedes Polynom ${}f\in {\mathfrak {a}}_{1}$. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${}{\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt

${}h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$

mit ${}f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$. Damit ist ${}h(P)=0$, da stets ${}f_{1j}(P)=0$ gilt, also gehört ${}P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen ${}P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle ${}i=1,\ldots ,k$. D.h. es gibt ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$ mit ${}f_{i}(P)\neq 0$. Dann ist aber ${}(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})(P)\neq 0$ und ${}f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$, so dass ${}P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Es sei ${}P\in \mathbb {A} _{K}^{n}$. Dann ist ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle ${}i\in I$ genau dann, wenn ${}f(P)=0$ ist für alle ${}f\in {\mathfrak {a}}_{i}$ und für alle ${}i\in I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f(P)=0$ ist für alle ${}f$ aus der Summe dieser Ideale.

Zur bewiesenen Aussage