Es sei
ein
Körper,
der
Polynomring
in
Variablen und sei
der zugehörige
affine Raum.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
,
d.h. der ganze affine Raum ist eine
affin-algebraische Menge.
- Es ist
,
d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
- Es seien
affin-algebraische Mengen mit
.
Dann gilt
-
![{\displaystyle {}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a8f087b4e9b2d1c9bd2edc829ceaaab49b607a)
Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
- Es seien
,
,
affin-algebraische Mengen mit
.
Dann gilt
-
![{\displaystyle {}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58936f075563bba789cee76fc144cdddebdcb574)
Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.