Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt

Sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{\mathbb {A} }_{K}^{n}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. ${}V(0)={\mathbb {A} }_{K}^{n}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. ${}V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien ${}V_{i}$, ${}i\in I$, affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)\,.$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen