Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Echt/Beispiel

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel $T \subset 𝔸_{K}^{1}$ eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass $K$ unendlich ist). Dann ist $Id (T) = 0$ , und also ist $V (0) = 𝔸_{K}^{1}$ echt größer als $T$ .

Zu (2). Es sei $I = (X^{2})$ , $R = K [X]$ . Dann ist $V (I) = {0}$ und $Id ({0}) = (X)$ , aber $X \notin (X^{2})$ . Ein extremeres Beispiel für $R = ℝ [X, Y]$ ist $I = (X^{2} + Y^{2})$ mit $V (I) = {(0, 0)}$ . Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal $(X, Y)$ .