Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Echt/Beispiel

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel  ${}T\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$  eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass ${}K$ unendlich ist). Dann ist  ${}\operatorname {Id} (T)=0$,  und also ist  ${}V(0)={\mathbb {A} }_{K}^{1}$  echt größer als ${}T$.

Zu (2). Es sei  ${}I=(X^{2})$,   ${}R=K[X]$.  Dann ist  ${}V(I)=\{0\}$  und  ${}\operatorname {Id} \,(\{0\})=(X)$,  aber  ${}X\notin (X^{2})$.  Ein extremeres Beispiel für  ${}R=\mathbb {R} [X,Y]$  ist  ${}I=(X^{2}+Y^{2})$  mit  ${}V(I)=\{(0,0)\}$.  Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal ${}(X,Y)$.