Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Echt/Beispiel

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel ${}T\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass ${}K$ unendlich ist). Dann ist ${}\operatorname {Id} (T)=0$, und also ist ${}V(0)={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ echt größer als ${}T$.

Zu (2). Es sei ${}I=(X^{2})$, ${}R=K[X]$. Dann ist ${}V(I)=\{0\}$ und ${}\operatorname {Id} \,(\{0\})=(X)$, aber ${}X\notin (X^{2})$. Ein extremeres Beispiel für ${}R=\mathbb {R} [X,Y]$ ist ${}I=(X^{2}+Y^{2})$ mit ${}V(I)=\{(0,0)\}$. Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal ${}(X,Y)$.