Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt

Es sei  ${}I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Ideal und sei  ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine Teilmenge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}T\subseteq V(\operatorname {Id} (T))$. 
2. Es ist  ${}I\subseteq \operatorname {Id} (V(I))$. 
3. Es ist  ${}V(I)=V(\operatorname {Id} (V(I)))$. 
4. Es ist  ${}\operatorname {Id} (T)=\operatorname {Id} (V(\operatorname {Id} (T)))$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen