Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/4/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(4,\,-5,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,1,\,-2\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-5y+a\\y-2z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14+a\\-10+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-13$ und ${}b=12$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-52y-13\\y-2z+12\end{pmatrix}}\,$

die gesuchte Abbildung.

Zur gelösten Aufgabe