Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Von (1) nach (2). Sei fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren , linear abhängig sind. Dann gibt es ein

derart, dass sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also

Dann ist

mit

Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.


Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).


Von (3) nach (4). Die Familie
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.


Von (4) nach (1). Seien
zwei baryzentrische Kombinationen, also
und damit
Weil eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie , linear unabhängig in und daher gilt .
Zur bewiesenen Aussage