Affiner Raum/Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Aufgabe/Lösung

1. Es ist ${}d{\left(P,Q\right)}=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}{\overrightarrow {PQ}}=0$, also ${}P=Q$ ist.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \\&=\Vert {-{\overrightarrow {QP}}}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=d{\left(Q,P\right)}.\end{aligned}}$

3. Für einen beliebigen Punkt ${}R\in E$ ist nach der Definition einer Norm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=\Vert {{\overrightarrow {QR}}+{\overrightarrow {RP}}}\Vert \\&\leq \Vert {\overrightarrow {QR}}\Vert +\Vert {\overrightarrow {RP}}\Vert \\&=d{\left(Q,R\right)}+d{\left(R,P\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe