Affiner Raum/Verschwindungsideal zu leerer Menge und ganzem Raum/Beispiel

Das Verschwindungsideal zur leeren Menge ist das Einheitsideal, da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste.

Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus Aufgabe.

Ist hingegen der Körper endlich mit ${}q$ Elementen, so ist ${}x^{q}-x=0$ für jedes ${}x\in K$. Also verschwindet das Polynom ${}X^{q}-X$ auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal gleich ${}(X_{1}^{q}-X_{1},X_{2}^{q}-X_{2},\ldots ,X_{n}^{q}-X_{n})$.