Algebra/Algebraisch unabhängig/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$ und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ eine Elementfamilie. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ sind algebraisch unabhängig.
2. Der Einsetzungshomomorphismus

   $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A,\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

   ist injektiv.

3. Der Einsetzungshomomorphismus

   $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[f_{1},\ldots ,f_{n}],\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

   ist bijektiv.

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