Algebraische Differentialoperatoren/Rational/Aufblasung/Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und die Aufblasung ${}{\tilde {X}}$ davon im Nullpunkt. Ein affiner Ausschnitt davon ist

$\operatorname {Spec} {\left(K[x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}]\right)}.$

Die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ sind nicht fortsetzbar auf die Aufblasung, die ${}x_{i}\partial _{i}$ sind fortsetzbar und sind Derivationen vom Grad ${}0$. Wenn man von

${}{\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}=\operatorname {Proj} K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$

mit ${}X,Z$ vom Grad ${}0$ und ${}Y,W$ vom Grad ${}1$ ausgeht und den unitären Operator aus Beispiel, also

$\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W},$

betrachtet, so besitzt dieser in der gegebenen Graduierung den Grad ${}0$. Auf ${}K[X,{\frac {Z}{X}}]$ bildet dies ${}X$ auf ${}1$ und ${}{\frac {Z}{X}}$ auf ${}-{\frac {Z}{X^{2}}}+2{\frac {Z}{X^{2}}}-{\frac {Z}{X^{2}}}=0$ ab. Auf ${}K[Z,{\frac {X}{Z}}]$ bildet dies ${}Z$ auf ${}0$ und ${}{\frac {X}{Z}}$ auf ${}{\frac {1}{Z}}-{\frac {1}{Z}}=0$ ab. Es gibt also auf nichtaffinen, semiaffinen (eigentlich über einem affinen Schema) (globale nichtkonstante) unitäre Differentialoperatoren. Die birationale Beschreibung dieses Operators ist einfach

${}\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}\partial _{X}\,.$

Es ist ja nur die Wirkungsweise des Operators auf den Monomen ${}X^{i}Z^{j}$ relevant, und diese werden durch die beiden hinteren Summanden des Operators annulliert.

Wenn man zusätzlich an einem weiteren Punkt ${}(a,b)$ aufbläst, so ist dieser Operator auf der Gesamtaufblasung nicht global definiert. Es ist ja

${}F{\left({\frac {X-a}{Z-b}}\right)}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}{\frac {1}{Z-b}}={\frac {1}{Z-b}}-Z{\frac {1}{(Z-b)^{2}}}={\frac {Z-b-Z}{(Z-b)^{2}}}={\frac {-b}{(Z-b)^{2}}}\,,$

was bei ${}b\neq 0$ nicht zum Bewertungsring des exzeptionellen Divisors gehört, obwohl ${}{\frac {X-a}{Z-b}}$ dazugehört.