Standardquadrik/4 Variablen/Monomial/Unitärer Differentialoperator/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an und betrachten

${}K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\cong K[S_{1}T_{1},S_{2}T_{2},S_{1}T_{2},S_{2}T_{1}]\subseteq K[S_{1},S_{2},T_{1},T_{2}]\,.$

Im Polynomring ist ${}\partial _{S_{1}}\partial _{T_{1}}$ ein unitärer Differentialoperator, der ${}X=S_{1}T_{1}$ auf ${}1$ abbildet. Die Restklassenbeschreibung dieses Operators auf der Quadrik erhält man, wenn man ${}\partial _{S_{1}}\partial _{T_{1}}$ auf allen Monomen in ${}X,Y,Z,W$ vom Grad ${}\leq 2$ auswertet und auf den Unterring projiziert. Dies ergibt den Operator

${}F=\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W}\,,$

Es ist in der Tat

${}F(XY-ZW)=Y-Y=0\,,$

${}F(X^{2}Y-XZW)=2XY-ZW+2XY+ZW-ZW-ZW=0\,,$

${}F(XY^{2}-YZW)=Y^{2}-Y^{2}=0\,,$

${}F(XYZ-Z^{2}W)=YZ+YZ-2YZ=0\,,$

${}F(XYW-ZW^{2})=YW-2YW+YW=0\,.$