Alleinführung im Antezedens/Konjunktion der Gruppenaxiome/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einer jeden Gruppe das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als

wobei die Konjunktion der drei Gruppenaxiome und ist. In ist nicht gebunden, in schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann eine „feste, aber beliebige“ Gruppe „denken“, und darin ein „festes, aber beliebiges“ . Für dieses beweist man dann die Aussage, dass wenn für alle gilt, dass dann sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher die Aussage

und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da in gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis.