Gruppe
Eine Menge
mit einem ausgezeichneten Element
und mit einer
Verknüpfung
-
heißt
Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
-
![{\displaystyle {}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03f5f1c99f814beb087448e474fb677001a568a)
- Das Element
ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
-
![{\displaystyle {}g\circ e=g=e\circ g\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60ec933e858e9eeb1572fffedbed1ea489d6fc5)
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
-
![{\displaystyle {}h\circ g=g\circ h=e\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe17e18fd2f89ab7f43361dd3652a9aee3cd7453)