Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition

Gruppe

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element  ${}e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  ${}f,g,h\in G$  gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  ${}g\in G$  gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem  ${}g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  ${}h\in G$  mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$