Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche ${}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ mit

${}x_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,,$

also

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots ,$

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

$1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{6}}\cdots ,$

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen