Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe/Lösung

a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form

${\frac {1}{4k-3}}+{\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{2k}}$

mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Dies kann man schreiben als

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{4k-3}}+{\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{2k}}&={\frac {(4k-1)(2k)+(4k-3)(2k)-(4k-3)(4k-1)}{(4k-3)(4k-1)(2k)}}\\&={\frac {8k^{2}-2k+8k^{2}-6k-16k^{2}+16k-3}{(16k^{2}-16k+3)(2k)}}\\&={\frac {8k-3}{32k^{3}-32k^{2}+6k}}.\end{aligned}}$

Der Zähler ist ${}\leq 8k$ und der Nenner ist ${}\geq 32k^{3}-32k^{2}\geq 31k^{3}$ für ${}k\geq 32$. Somit kann man die Summanden für ${}k\geq 32$ durch

${}{\frac {7k}{31k^{3}}}={\frac {7}{31}}\cdot {\frac {1}{k^{2}}}\,$

nach oben abschätzen. Da nach Beispiel die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.

b) Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe der Stammbrüche zu den ungeraden Zahlen, die in die gegebene Reihe positiv eingehen. Wir betrachten die Umordnung, bei der abwechselnd von den noch nicht verarbeiteten positiven Glieder so viele genommen werden, bis ihre Summe ${}1$ erreicht, und sodann ein negatives Glied genommen wird. Also

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{17}}+\ldots .$

Eine solche Zwischensumme ist

${}\geq 1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$.

Zur gelösten Aufgabe