Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe/Lösung

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a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form

mit . Dies kann man schreiben als

Der Zähler ist und der Nenner ist für . Somit kann man die Summanden für durch

nach oben abschätzen. Da nach Beispiel die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.

b) Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe der Stammbrüche zu den ungeraden Zahlen, die in die gegebene Reihe positiv eingehen. Wir betrachten die Umordnung, bei der abwechselnd von den noch nicht verarbeiteten positiven Glieder so viele genommen werden, bis ihre Summe erreicht, und sodann ein negatives Glied genommen wird. Also

Eine solche Zwischensumme ist

.