Alternierende Summe/Induktion/Aufgabe/Lösung

Bei $n=1$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden  $(-1{)}^{1}1=-1$,  die Summe ist also $-1$. Da $1$ ungerade ist, steht rechts  $-\frac{2}{2}=-1$,  der Induktionsanfang ist also gesichert.

Es sei die Aussage nun für $n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für $n+1$ zu zeigen. Die Summe links ist

$\sum _{k=1}^{n+1}(-1{)}^{k}k=(\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k}k)+(-1{)}^{n+1}(n+1).$

Bei $n$ gerade (also $n+1$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

$\frac{n}{2}+(-1{)}^{n+1}(n+1)=\frac{n}{2}-(n+1)=\frac{n-2n-2}{2}=\frac{-n-2}{2}=-\frac{n+2}{2},$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei $n$ ungerade (also $n+1$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

$-\frac{n+1}{2}+(-1{)}^{n+1}(n+1)=-\frac{n+1}{2}+(n+1)=\frac{-n-1+2n+2}{2}=\frac{n+1}{2},$

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe