Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gilt für alle  ${}x\in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\vert {x}\vert <1$ 

${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$

Angewendet auf  ${}x=-z$  ist

${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.$

Es folgt

${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.$

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