Alternierende geometrische Reihe/R/Betrag z kleiner 1/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gilt für alle ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x}\vert <1$

{}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.

Angewendet auf ${}x=-z$ ist

{}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.

Es folgt

{}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.