An-Singularität/Punktiertes Schema/Invertierbares Ideal/Beispiel

Wir betrachten in der ${}A_{n-1}$-Singularität ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ das Ideal ${}I=(X,Z)$. Es definiert auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine Idealgarbe ${}{\widetilde {I}}$ und damit auch die eingeschränkte Idealgarbe ${}{\widetilde {I}}{|}_{U}$ auf dem quasiaffinen Schema

${}U=D(X,Y,Z)=D(X,Y)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{(X,Y,Z)\}\subset \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,.$

Diese eingeschränkte Idealgarbe ist auf ${}U$ invertierbar, da wegen ${}X\in I$ und wegen ${}X={\frac {Z^{n-1}}{Y}}Z$ (in ${}R_{Y}$) Isomorphien ${}{\widetilde {I}}{|}_{D(X)}\cong {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}{|}_{D(X)}$ und ${}{\widetilde {I}}{|}_{D(Y)}\cong {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}{|}_{D(Y)}$ vorliegen. Dagegen ist ${}{\widetilde {I}}$ auf dem gesamten Spektrum nicht invertierbar, da das Ideal in der Lokalisierung ${}R_{(X,Y,Z)}$ kein Hauptideal ist.