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Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung
Für
x
≥
−
1
{\displaystyle {}x\geq -1}
und
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
ist
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
.
{\displaystyle {}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.}
Die
Potenzreihe
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle {}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
sei für eine komplexe Zahl
z
=
b
{\displaystyle {}z=b}
,
b
≠
a
{\displaystyle {}b\neq a}
,
konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius
r
{\displaystyle {}r}
mit
0
<
r
<
|
b
−
a
|
{\displaystyle {}0<r<\vert {b-a}\vert }
die Potenzreihe
f
(
z
)
{\displaystyle {}f(z)}
auf der abgeschlossenen Kreisscheibe
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle {}B\left(a,r\right)}
punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
Es sei
f
:
[
a
,
b
]
→
[
c
,
d
]
{\displaystyle {}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]}
eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei
F
{\displaystyle {}F}
eine Stammfunktion von
f
{\displaystyle {}f}
. Dann ist
G
(
y
)
:=
y
f
−
1
(
y
)
−
F
(
f
−
1
(
y
)
)
{\displaystyle {}G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,}
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion
f
−
1
{\displaystyle {}f^{-1}}
.
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