Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

   $f:M⟶M$

   eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
2. Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

   $f:[a,b]⟶{ℝ}^n$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

   $L(f)={\int }_a^b\Vert f^{\prime }(t)\Vert dt.$

3. Zu $w\in {ℝ}^n$ und einer Lösung

   $\alpha :J⟶ℝ$

   der eindimensionalen Differentialgleichung

   $z^{\prime }=g(t,zw)\cdot z\text{ mit }\alpha (t_0)=1$

   ist

   $v(t)=\alpha (t)\cdot w$

   eine Lösung des Anfangswertproblems

   $v^{\prime }=F(t,v)\text{ mit }v(t_0)=w.$

4. Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume,  $G\subseteq V$  und  $D\subseteq W$  offene Mengen, und $\phi :G\to W$ und $\psi :D\to U$ Abbildungen derart, dass  $\phi (G)\subseteq D$  gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\phi$ in  $P\in G$  und $\psi$ in  $\phi (P)\in D$  total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \phi :G\to U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

   ${(D(\psi \circ \phi ))}_P={\left(D\psi \right)}_{\phi (P)}\circ {\left(D\phi \right)}_P.$

Zur gelösten Aufgabe