Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition

Lösung des Anfangswertproblems (Differentialgleichungssystems)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall  ${}J\subseteq I$  mit  ${}t_{0}\in J$  eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ eine Lösung der Differentialgleichung  ${}v'=f(t,v)$  ist und wenn zusätzlich

${}v(t_{0})=w\,$

gilt.