Anfangswertproblem/(tx-y^2,xy-t^2)/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}tx-y^2\\ xy-t^2\end{array}\right)\text{ mit }x(0)=0\text{ und }y(0)=1$

und machen den Potenzreihenansatz $x(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k$ und $y(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{t}^k$. Aufgrund der Anfangsbedingung ist

$a_0=0\text{ und }{b}_0=1.$

Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenzreihengleichungen

${\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k{t}^{k-1}=t\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k\right)-{\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{t}^k\right)}^2$

und

${\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{t}^k\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{b}_k{t}^{k-1}=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k\right)\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{t}^k\right)-t^2,$

die wir gradweise auswerten. Für den Grad $0$ (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$a_1=-b_0^2=-1\text{ und }{b}_1=a_0{b}_0=0.$

Für den Grad $1$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$2a_2=a_0-2b_0{b}_1=0\text{ und }2b_2=a_0{b}_1+a_1{b}_0=-1,$

also ist $a_2=0$ und $b_2=-\frac{1}{2}$. Für den Grad $2$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$3a_3=a_1-2b_0{b}_2-b_1^2=-1+1=0\text{ und }3b_3=a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0-1=-1,$

also ist $a_3=0$ und $b_3=-\frac{1}{3}$. Für den Grad $3$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$4a_4=a_2-2b_0{b}_3-2b_1{b}_2=\frac{2}{3}\text{ und }4b_4=a_0{b}_3+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_0=\frac{1}{2},$

also ist $a_4=\frac{1}{6}$ und $b_4=\frac{1}{8}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $4$ ist demnach

$(-t+\frac{1}{6}{t}^4,1-\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{8}{t}^4).$