Anfangswertproblem/Ortsunabhängig/1 durch cosh t/y(0) ist 5/Beispiel

Wir betrachten das ortsunabhängige Anfangswertproblem

$y'={\frac {1}{\cosh t}}{\text{ mit der Anfangsbedingung }}y(0)=5.$

Es ist

${}{\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}={\frac {2e^{t}}{e^{2t}+1}}\,,$

sodass eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion vorliegt, die wir nach Fakt über die Substitution ${}t=\ln s$ lösen können. Das transformierte Integral ist dabei

$\int {\frac {2s}{s^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{s}}ds.$

Eine Stammfunktion dazu ist

$2\arctan s.$

Somit ist

$2\arctan {\left(e^{t}\right)}$

eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{\cosh t}}$. Für das Anfangswertproblem setzen wir

${}2\arctan {\left(e^{0}\right)}+c=5\,$

an. Dies führt auf

${}c=5-2\arctan 1\,,$

also ist

${}y(t)=2\arctan {\left(e^{t}\right)}+5-2\arctan 1\,$

die Lösung des Anfangswertproblems.