Angeordneter Inegritätsbereich/Elementare Eigenschaften/Ordnung auf Quotientenkörper/Aufgabe/Lösung

a) Angenommen, unter den angegebenen Voraussetzungen wäre nicht ${}a\geq b$. Da eine totale Ordnung vorliegt, ist dann ${}a<b$. D.h. insbesondere ${}a\leq b$ und daraus folgt ${}ac\leq bc$. Wenn dies gleich wäre, würde wegen der Kürzbarkeit in einem Integritätsbereich und wegen ${}c\neq 0$ sofort ${}a=b$ folgen, was ausgeschlossen ist. Daher ist ${}ac<bc$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

b) Die Eigenschaft ${}1>0$ ist aufgrund der ersten Eigenschaft äquivalent zu ${}0>-1$, so dass wir ${}-1\geq 0$ annehmen. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist dann ${}1=(-1)(-1)\geq (-1)0=0$ und wegen ${}1\neq 0$ in einem Integritätsbereich folgt doch ${}1>0$.

c) Aus ${}a<0$ folgt durch beidseitige Addition mit ${}-a$ sofort ${}0\leq -a$. Würde ${}0=-a$ gelten, so folgt ${}a=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung, also ist ${}0<-a$.

d) Ein Element im Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ wird repräsentiert durch einen Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in R$, ${}b\neq 0$. Dabei ist ${}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ definitionsgemäß genau dann, wenn ${}ad=bc$ ist. Da eine totale Ordnung vorliegt, kann man stets annehmen, dass die Nenner positiv sind, da man mit ${}-1$ erweitern kann (nach Teil (c)). Im Folgenden nehmen wir alle Nenner als positiv an. Wir definieren

${\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}{\text{ wenn }}ad\leq cb.$

Man muss die Wohldefiniertheit dieser Definition nachweisen und dass die Eigenschaften eines geordneten Ringes erfüllt sind. Zur Wohldefiniertheit sei

${\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}$

und

${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}.$

Dann ist

${}a'd'cb=adb'c'\,.$

Bei ${}c>0$ ist

${}a'd'cb=adb'c'\leq c'b'cb\,$

und daraus folgt durch kürzen (nach Teil (a)) ${}a'd'\leq c'b'$ wie gewünscht. Bei ${}c=0$ ist auch ${}c'=0$ und ${}{\frac {a}{b}}\leq 0$ bedeutet ${}a\leq 0$ und damit muss auch ${}a'\leq 0$ und ${}a'd'\leq 0$ sein. Bei ${}c<0$ ist auch ${}c'<0$. Dann ist ${}b'c'<0$ und ${}-b'c'>0$, also

${}a'd'(-cb)=ad(-b'c')\leq c'b'(-cb)\,.$

Daraus ergibt sich ${}a'd'\leq c'b'$. Daher ist die Ordnung wohldefiniert.

Jetzt sind die Ordnungseigenschaften zu testen. Es seien ${}x={\frac {a}{b}}$, ${}y={\frac {c}{d}}$ und ${}z={\frac {e}{f}}$. Wir können stets zu einem Hauptnenner übergehen, also ${}b=d=f>0$ annehmen. Aus dem bisher Bewiesenen folgt, dass ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{b}}$ genau dann gilt, wenn ${}a\geq c$ ist.

Die Reflexivität ist trivial. Zur Transitivität sei ${}x={\frac {a}{b}}\leq y={\frac {c}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{b}}\leq z={\frac {e}{b}}$. Also ist ${}a\leq c$ und ${}c\leq e$ und daher ist ${}a\leq e$ und somit auch ${}x\leq z$.

Zur Antisymmetrie sei ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{b}}$ und ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{b}}$. Dann ist direkt ${}a=c$ und die Brüche stimmen überein.

Wir kommen nun zu den Eigenschaften eines geordneten Ringes.

(1). Aus ${}x={\frac {a}{b}}\geq y={\frac {c}{b}}$ folgt sofort ${}a\geq c$. Daher ist ${}a+e\geq c+e$ und somit wiederum

${}x+z={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}=y+z\,.$

(2). Es sei ${}x\geq y$ und ${}z\geq 0$. Dann ist ${}a\geq c$ und ${}e\geq 0$ und somit ${}ae\geq ce$. Also ist

${}xz={\frac {a}{b}}{\frac {e}{b}}={\frac {ae}{b^{2}}}\geq {\frac {ce}{b^{2}}}={\frac {c}{b}}{\frac {e}{b}}=yz\,.$

Es ist trivial, dass eine Fortsetzung der Ordnung und eine totale Ordnung vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe