Angeordneter Inegritätsbereich/Elementare Eigenschaften/Ordnung auf Quotientenkörper/Aufgabe/Lösung

a) Angenommen, unter den angegebenen Voraussetzungen wäre nicht ${}a\geq b$ . Da eine totale Ordnung vorliegt, ist dann ${}a<b$ . D.h. insbesondere ${}a\leq b$ und daraus folgt ${}ac\leq bc$ . Wenn dies gleich wäre, würde wegen der Kürzbarkeit in einem Integritätsbereich und wegen ${}c\neq 0$ sofort ${}a=b$ folgen, was ausgeschlossen ist. Daher ist ${}ac<bc$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

b) Die Eigenschaft ${}1>0$ ist aufgrund der ersten Eigenschaft äquivalent zu ${}0>-1$ , sodass wir ${}-1\geq 0$ annehmen. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist dann ${}1=(-1)(-1)\geq (-1)0=0$ und wegen ${}1\neq 0$ in einem Integritätsbereich folgt doch ${}1>0$ .

c) Aus ${}a<0$ folgt durch beidseitige Addition mit ${}-a$ sofort ${}0\leq -a$ . Würde ${}0=-a$ gelten, so folgt ${}a=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung, also ist ${}0<-a$ .

d) Ein Element im Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ wird repräsentiert durch einen Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in R$ , ${}b\neq 0$ . Dabei ist ${}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ definitionsgemäß genau dann, wenn ${}ad=bc$ ist. Da eine totale Ordnung vorliegt, kann man stets annehmen, dass die Nenner positiv sind, da man mit ${}-1$ erweitern kann (nach Teil (c)). Im Folgenden nehmen wir alle Nenner als positiv an. Wir definieren

{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}{\text{ wenn }}ad\leq cb.

Man muss die Wohldefiniertheit dieser Definition nachweisen und dass die Eigenschaften eines geordneten Ringes erfüllt sind. Zur Wohldefiniertheit sei

{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}

und

{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}.

Dann ist

{}a'd'cb=adb'c'\,.

Bei ${}c>0$ ist

{}a'd'cb=adb'c'\leq c'b'cb\,

und daraus folgt durch kürzen (nach Teil (a)) ${}a'd'\leq c'b'$ wie gewünscht. Bei ${}c=0$ ist auch ${}c'=0$ und ${}{\frac {a}{b}}\leq 0$ bedeutet ${}a\leq 0$ und damit muss auch ${}a'\leq 0$ und ${}a'd'\leq 0$ sein. Bei ${}c<0$ ist auch ${}c'<0$ . Dann ist ${}b'c'<0$ und ${}-b'c'>0$ , also

{}a'd'(-cb)=ad(-b'c')\leq c'b'(-cb)\,.

Daraus ergibt sich ${}a'd'\leq c'b'$ . Daher ist die Ordnung wohldefiniert.

Jetzt sind die Ordnungseigenschaften zu testen. Es seien ${}x={\frac {a}{b}}$ , ${}y={\frac {c}{d}}$ und ${}z={\frac {e}{f}}$ . Wir können stets zu einem Hauptnenner übergehen, also ${}b=d=f>0$ annehmen. Aus dem bisher Bewiesenen folgt, dass ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{b}}$ genau dann gilt, wenn ${}a\geq c$ ist.

Die Reflexivität ist trivial. Zur Transitivität sei ${}x={\frac {a}{b}}\leq y={\frac {c}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{b}}\leq z={\frac {e}{b}}$ . Also ist ${}a\leq c$ und ${}c\leq e$ und daher ist ${}a\leq e$ und somit auch ${}x\leq z$ .

Zur Antisymmetrie sei ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{b}}$ und ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{b}}$ . Dann ist direkt ${}a=c$ und die Brüche stimmen überein.