Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K⟶K,x⟼|x|,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$).

1. Es ist  $|x|\ge 0$. 
2. Es ist  $|x|=0$  genau dann, wenn  $x=0$  ist.
3. Es ist  $|x|=|y|$  genau dann, wenn  $x=y$  oder  $x=-y$  ist.
4. Es ist  $|y-x|=|x-y|$. 
5. Es ist  $|xy|=|x||y|$. 
6. Für  $x\ne 0$  ist  $|x^{-1}|=|x{|}^{-1}$. 
7. Es ist  $|x+y|\le |x|+|y|$  (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist  $|x+y|\ge |x|-|y|$. 

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