Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Addition und Multiplikation/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Beweis der Summeneigenschaft sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für

${}m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}\,.$

Für diese Indizes gilt somit

${}{\begin{aligned}\vert {x_{m}+y_{m}-(x_{n}+y_{n})}\vert &=\vert {x_{m}-x_{n}+y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}-x_{n}}\vert +\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zum Beweis der Produkteigenschaft sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit

${}\vert {x_{n}}\vert ,\vert {y_{n}}\vert \leq D\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für ${}m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Indizes gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{m}y_{m}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}+x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}}\vert +\vert {x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&=\vert {x_{m}}\vert \vert {y_{m}-y_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq D{\frac {\epsilon }{2D}}+D{\frac {\epsilon }{2D}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage