Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Addition und Multiplikation/Fakt/Beweis

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Beweis

Zum Beweis der Summeneigenschaft sei vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für

Für diese Indizes gilt somit

Zum Beweis der Produkteigenschaft sei vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit

für alle . Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für . Für diese Indizes gilt daher