Beweis
Zum Beweis der Summeneigenschaft sei
vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen
und
mit
-
Diese Abschätzungen gelten dann auch für
-
![{\displaystyle {}m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddc941695bc2a26d13aeef6916caba93ffa03ad)
Für diese Indizes gilt somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{m}+y_{m}-(x_{n}+y_{n})}\vert &=\vert {x_{m}-x_{n}+y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}-x_{n}}\vert +\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b739bda259d1cc3ef0ce8ae906fd7e36a517f5)
Zum Beweis der Produkteigenschaft sei
vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach
Fakt
insbesondere
beschränkt
und daher existiert ein
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n}}\vert ,\vert {y_{n}}\vert \leq D\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56f09e4b08a8e8533a8e9e0a949d1601da3ad93)
für alle
.
Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen
und
mit
-
Diese Abschätzungen gelten dann auch für
.
Für diese Indizes gilt daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{m}y_{m}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}+x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}}\vert +\vert {x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&=\vert {x_{m}}\vert \vert {y_{m}-y_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq D{\frac {\epsilon }{2D}}+D{\frac {\epsilon }{2D}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18830cfecf1c41271ee210b851d7fb5860c16cdb)