Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{1}$ mit

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon a^{2}\,$

für alle ${}m,n\geq n_{1}$. Dann gilt für alle ${}m,n\geq N:=\operatorname {max} \{n_{0},n_{1}\}$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {{\frac {1}{x_{m}}}-{\frac {1}{x_{n}}}}\vert \\&=\vert {\frac {x_{n}-x_{m}}{x_{m}x_{n}}}\vert \\&={\frac {1}{\vert {x_{m}}\vert \cdot \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq {\frac {1}{a^{2}}}\cdot \epsilon a^{2}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage