Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/2/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

   $1>0{\text{ oder }}1=0{\text{ oder }}1<0.$

   Aufgrund der Körperaxiome ist  ${}1\neq 0$.  Wir müssen also nur noch die Möglichkeit  ${}1<0$  zum Widerspruch führen. Nehmen wir  ${}1<0$  an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig ${}-1$ addieren und erhält  ${}0<-1$.  Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

   ${}0<(-1)(-1)=1\,,$

   also ist zugleich  ${}1>0$,  ein Widerspruch.

   
   

2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
5. Aus  ${}a\geq b$  folgt durch Subtraktion mit ${}b$ aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition die Abschätzung  ${}a-b\geq b-b=0$.  Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich  ${}ca-cb=c(a-b)\geq 0$.  Addition mit ${}cb$ ergibt  ${}ca\geq cb$. 
6. Siehe Aufgabe.
7. Folgt aus (6).

Zur bewiesenen Aussage