Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

$x_n-a\le y_n-a\le z_n-a.$

Bei $y_n-a\ge 0$ ist somit

$|y_n-a|\le |z_n-a|$

und bei $y_n-a\le 0$ ist

$|y_n-a|\le |x_n-a|.$

Daher ist stets

$|y_n-a|\le max(|x_n-a|,|z_n-a|).$

Für ein vorgegebenes $ϵ>0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen $n_1$ und $n_2$ derart, dass

$|x_n-a|\le ϵ$

für $n\ge n_1$ und

$|z_n-a|\le ϵ$

für $n\ge n_2$ gilt. Für $n\ge n_0=max(n_1,n_2)$ gilt daher

$|y_n-a|\le ϵ.$

Dies bedeutet die Konvergenz von $y_n$ gegen $a$.

Zur bewiesenen Aussage