Es ist
Bei y n − a ≥ 0 {\displaystyle {}y_{n}-a\geq 0} ist somit
und bei y n − a ≤ 0 {\displaystyle {}y_{n}-a\leq 0} ist
Daher ist stets
Für ein vorgegebenes ϵ > 0 {\displaystyle {}\epsilon >0} gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen a {\displaystyle {}a} natürliche Zahlen n 1 {\displaystyle {}n_{1}} und n 2 {\displaystyle {}n_{2}} derart, dass
für n ≥ n 1 {\displaystyle {}n\geq n_{1}} und
für n ≥ n 2 {\displaystyle {}n\geq n_{2}} gilt. Für n ≥ n 0 = max ( n 1 , n 2 ) {\displaystyle {}n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}} gilt daher
Dies bedeutet die Konvergenz von y n {\displaystyle {}y_{n}} gegen a {\displaystyle {}a} .
ist somit
ist
gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen 
natürliche Zahlen
und 
derart, dass
und
gilt. Für 
gilt daher
gegen .
