Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}c\in K_{+}$.  Es sei ${}x_{0}$ ein positiver Startwert und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für  ${}n\geq 1$  ist

   ${}x_{n}^{2}\geq c\,$

   und

   ${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c\,.$

2. Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied fallend.
3. Es ist

   ${}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,$

   für  ${}n\geq 1$. 

4. Für die Intervalllängen

   ${}\ell _{n}:=x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}\,$

   gilt die Beziehung

   ${}\ell _{n+1}={\frac {1}{4x_{n+1}}}\ell _{n}^{2}\,$

   und bei  ${}c\geq 1$  gilt insbesondere

   ${}\ell _{n+1}\leq {\frac {1}{4}}\ell _{n}^{2}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen