Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei  $ϵ>0$  gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $ϵ/2$ an. Daher gibt es ein $n_0$ mit

$|x_n-x|\le ϵ/2\text{ für alle }n\ge n_0.$

Für beliebige  $n,m\ge n_0$  gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

$|x_n-x_m|\le |x_n-x|+|x-x_m|\le ϵ/2+ϵ/2=ϵ.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

Zur bewiesenen Aussage