Beweis
Es seien
und 
die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
-
angenommen. Wir setzen
-
und
-
Dann sind die 
-Umgebungen
![{\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785965eadd2e46e6e4347889a9929658e0d9845a)
und ![{\displaystyle {}[y-\epsilon ,y+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c2bb07dd8e53dfc9fe453a85744648d88f2f9f)
disjunkt. Zu diesem gibt es ein
(gemeinsames)
derart, dass für alle
die Folgenglieder ![{\displaystyle {}x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9d8688c33b4895f8da7b540fdc46052e96e833)
und die Folgenglieder ![{\displaystyle {}y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a8787e9c78f9100e4b27643028d715efeee7ab)
liegen. Somit ergibt sich
-
ein Widerspruch zur Voraussetzung.
