Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Nehmen wir an, dass nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss

    gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält

    Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

    also ist zugleich , ein Widerspruch.

  2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  5. Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert
  6. Aus ergibt sich nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich

    Addition mit ergibt .

  7. Siehe Aufgabe.
  8. Zweimalige Anwendung von (6) liefert
  9. Nach (2) ist , also

    was wiederum bedeutet.

  10. Folgt aus (2) und aus .
Zur bewiesenen Aussage