Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nehmen wir an, dass  $1\ge 0$  nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss

   $1<0$

   gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir  $1<0$  an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält

   $0<-1.$

   Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

   $0\le (-1)(-1)=1,$

   also ist zugleich  $1\ge 0$,  ein Widerspruch.

2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
5. Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert

   $a+c\ge a+d\ge b+d.$

6. Aus  $a\ge b$  ergibt sich  $a-b\ge 0$  nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich

   $ca-cb=c(a-b)\ge 0.$

   Addition mit $cb$ ergibt  $ca\ge cb$. 

7. Siehe Aufgabe.
8. Zweimalige Anwendung von (6) liefert

   $ac\ge bc\ge bd.$

9. Nach (2) ist  $-b\ge 0$,  also

   $a(-b)\ge 0,$

   was wiederum  $ab\le 0$  bedeutet.

10. Folgt aus (2) und aus  $(-a)(-b)=ab$. 

Zur bewiesenen Aussage