Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.

1.  ${}1\geq 0$. 
2. Es ist  ${}a\geq 0$  genau dann, wenn  ${}-a\leq 0$  ist.
3. Es ist  ${}a\geq b$  genau dann, wenn  ${}a-b\geq 0$  ist.
4. Es ist  ${}a\geq b$  genau dann, wenn  ${}-a\leq -b$  ist.
5. Aus  ${}a\geq b$  und  ${}c\geq d$  folgt  ${}a+c\geq b+d$. 
6. Aus  ${}a\geq b$  und  ${}c\geq 0$  folgt  ${}ac\geq bc$. 
7. Aus  ${}a\geq b$  und  ${}c\leq 0$  folgt  ${}ac\leq bc$. 
8. Aus  ${}a\geq b\geq 0$  und  ${}c\geq d\geq 0$  folgt  ${}ac\geq bd$. 
9. Aus  ${}a\geq 0$  und  ${}b\leq 0$  folgt  ${}ab\leq 0$. 
10. Aus  ${}a\leq 0$  und  ${}b\leq 0$  folgt  ${}ab\geq 0$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen