Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Cauchy-Schwarz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Form

$⟨v,w⟩=Q(v+w)-Q(v)-Q(w)$

ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist

$\begin{array}{cc}0& \le ⟨⟨w,w⟩v-⟨v,w⟩w,⟨w,w⟩v-⟨v,w⟩w⟩\\ & ={⟨w,w⟩}^2⟨v,v⟩-⟨w,w⟩{⟨v,w⟩}^2-⟨w,w⟩{⟨v,w⟩}^2+⟨w,w⟩{⟨v,w⟩}^2\\ & ={⟨w,w⟩}^2⟨v,v⟩-⟨w,w⟩{⟨v,w⟩}^2\\ & =⟨w,w⟩(⟨w,w⟩⟨v,v⟩-{⟨v,w⟩}^2).\end{array}$

Bei  $w=0$  ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also  $w\ne 0$.  Wegen der positiven Definitheit ist dann

$⟨w,w⟩>0,$

woraus

${⟨v,w⟩}^2\le ⟨v,v⟩⟨w,w⟩=2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)$

folgt.

Zur bewiesenen Aussage