Archimedisch angeordneter Körper/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt

Approximation durch Dezimalbrüche

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es zu jedem ${}x\in K$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

ein eindeutig bestimmtes ${}a\in \mathbb {Z}$ derart, dass

${}{\frac {a}{10^{k}}}\leq x<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$

gilt.

D.h., dass man jedes Element des Körpers beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${}{\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen