Archimedisch angeordneter Körper/Bruchfolge/1/Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern

${}x_{n}={\frac {7n}{2^{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$. Die Anfangsglieder sind

$0,\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {21}{8}},\,{\frac {7}{4}},\,{\frac {35}{32}},\,{\frac {21}{32}},\,{\frac {49}{128}},\,{\frac {7}{32}}\ldots .$

In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Fakt gibt es nämlich ein ${}m$ derart, dass

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

für alle ${}n\geq m$ gilt. Für diese ${}n$ ist somit

${}{\frac {7n}{2^{n}}}\leq {\frac {7n}{n^{2}}}={\frac {7}{n}}\,.$

Zu einem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ kann man zusätzlich noch ${}n\geq {\frac {7}{\epsilon }}$ erreichen, daher ist dies kleinergleich ${}\epsilon$.