Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt

Wachstumsdominanz der Exponentialfunktion

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  $b>1$  gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion

${\phi }_b:\mathbb{Z}⟶K,n⟼b^n,$

zur Basis $b$. Es sei $k$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es ein  $m\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

${\phi }_b(n)=b^n\ge n^k$

gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen