Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

$x=u_n\cdot 10^{-n}+v_n$

mit  $u_n\in \mathbb{Z}$  und  $0\le v_n<10^{-n}$  berechnet. Daher ist einerseits

$x_n=u_n\cdot 10^{-n}\le x$

und andererseits

$x=u_n\cdot 10^{-n}+v_n=x_n+v_n<x_n+\frac{1}{10^n}.$

Die Eigenschaft

$x_n\le x_{n+1}$

ergibt sich auch unmittelbar.

Zur bewiesenen Aussage