Archimedisch angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel

Eine konstante Folge ${}x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert ${}c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes ${}\epsilon >0$ als Aufwandszahl ${}n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja

${}\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$

für alle ${}n$.

Es sei nun ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Damit gilt für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$