Archimedisch angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel

Eine konstante Folge  $x_n=c$  ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes  $ϵ>0$  als Aufwandszahl  $n_0=0$  nehmen kann. Es ist ja

$|x_n-c|=|c-c|=|0|=0<ϵ$

für alle $n$.

Es sei nun $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

$x_n=\frac{1}{n}$

konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges $ϵ\in K$, $ϵ>0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes-Axioms (siehe Fakt) gibt es ein $n_0$ mit

$\frac{1}{n_0}\le ϵ.$

Damit gilt für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung

$x_n=\frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}\le ϵ.$