Archimedisch angeordneter Körper/Stammbruchfolge/Konvergenz/Beispiel

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Damit gilt für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$