Archimedisch angeordneter Körper/Vollständig/Eindeutigkeit über Abbildung von Cauchymenge/Aufgabe

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es im Wesentlichen nur einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt, sodass man von dem Körper der reellen Zahlen sprechen kann. Dazu sei ${}{\mathbb {K} }$ ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper (der nach Aufgabe die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ enthält) und ${}\mathbb {R} =C/\sim$ sei der in Beispiel konstruierte Körper. Man zeige

1. Die Abbildung

   $C\longrightarrow {\mathbb {K} },\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},$

   die eine Cauchyfolge in ${}\mathbb {Q}$ auf den Grenzwert in ${}{\mathbb {K} }$ abbildet, ist wohldefiniert.
2. Diese Abbildung definiert eine wohldefinierte Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {K} ,\,[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}.$

3. Die Abbildung ${}\varphi$ schickt ${}[{\left(0\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf ${}0_{\mathbb {K} }$ und ${}[{\left(1\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf ${}1_{\mathbb {K} }$.
4. Die Abbildung ${}\varphi$ ist mit Summen und Produkten verträglich, d.h. es gilt ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ und ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ für beliebige ${}a,b\in \mathbb {R}$.
5. Die Abbildung ${}\varphi$ ist bijektiv.

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