Archimedisch angeordneter Körper/Vollständig/Eindeutigkeit über Abbildung von Cauchymenge/Aufgabe

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es im Wesentlichen nur einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt, so dass man von dem Körper der reellen Zahlen sprechen kann. Dazu sei ${}{\mathbb {K} }$ ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper (der nach Aufgabe die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ enthält) und ${}\mathbb {R} =C/\sim$ sei der in Beispiel konstruierte Körper. Man zeige

1. Die Abbildung

   $C\longrightarrow {\mathbb {K} },\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},$

   die eine Cauchyfolge in ${}\mathbb {Q}$ auf den Grenzwert in ${}{\mathbb {K} }$ abbildet, ist wohldefiniert.
2. Diese Abbildung definiert eine wohldefinierte Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {K} ,\,[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}.$

3. Die Abbildung ${}\varphi$ schickt ${}[{\left(0\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf ${}0_{\mathbb {K} }$ und ${}[{\left(1\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf ${}1_{\mathbb {K} }$.
4. Die Abbildung ${}\varphi$ ist mit Summen und Produkten verträglich, d.h. es gilt ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ und ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ für beliebige ${}a,b\in \mathbb {R}$.
5. Die Abbildung ${}\varphi$ ist bijektiv.

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