Archimedisch angeordneter Körper/Vollständig/Eindeutigkeit über Abbildung von Cauchymenge/Aufgabe

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In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es im Wesentlichen nur einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt, so dass man von dem Körper der reellen Zahlen sprechen kann. Dazu sei ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper (der nach Aufgabe die rationalen Zahlen enthält) und sei der in Beispiel konstruierte Körper. Man zeige

  1. Die Abbildung
    die eine Cauchyfolge in auf den Grenzwert in abbildet, ist wohldefiniert.
  2. Diese Abbildung definiert eine wohldefinierte Abbildung
  3. Die Abbildung schickt auf und auf .
  4. Die Abbildung ist mit Summen und Produkten verträglich, d.h. es gilt und für beliebige .
  5. Die Abbildung ist bijektiv.