Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel

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Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen , einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei

die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Wir definieren in eine Relation durch

Dies ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe. Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Relation als reelle Zahlen, also

Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als .

Auf gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz

Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf , siehe

Aufgabe. Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl ergibt sich eine Abbildung

die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit und (also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge) ist ein Körper, siehe Aufgabe. Für jede Cauchy-Folge gilt die ausschließende Alternative: ist eine Nullfolge, oder es gibt ein mit für fast alle , oder es gibt ein mit für fast alle . Darauf aufbauend kann man in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren. Damit wird zu einem angeordneten Körper, der auch archimedisch ist, siehe Aufgabe. In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass auch vollständig ist, siehe Aufgabe.