Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen , einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei
-
die Menge aller
Cauchy-Folgen
mit rationalen Gliedern. Wir definieren in eine Relation durch
-
Dies ist eine
Äquivalenzrelation,
siehe
Aufgabe.
Wir definieren nun die
Quotientenmenge
unter dieser Relation als reelle Zahlen, also
-
Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als .
Auf gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz
-
Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf , siehe
Aufgabe.
Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl ergibt sich eine Abbildung
-
die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit
und
(also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge)
ist ein Körper, siehe
Aufgabe.
Für jede Cauchy-Folge gilt die ausschließende Alternative: ist eine Nullfolge, oder es gibt ein mit für fast alle
, oder es gibt ein mit für fast alle . Darauf aufbauend kann man in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine
(totale)
Ordnungsrelation
darauf definieren. Damit wird zu einem
angeordneten Körper,
der auch
archimedisch
ist, siehe
Aufgabe.
In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass auch
vollständig
ist, siehe
Aufgabe.