Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Faser/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es einen ${}L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck ${}\psi$ in ${}r+s$ freien Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s}$ derart, dass für alle ${}(r+s)$-Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt. Es sei

${}P=(p_{1},\ldots ,p_{s})\in \mathbb {N} ^{s}\,$

ein Punkt. Dabei gilt insbesondere für beliebige ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Gleichheit ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(p_{1},\ldots ,p_{s})$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})$ gilt. Diese Gleichung bedeutet, dass ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})$ zur Faser über ${}P$ gehört. Daher ist der Ausdruck

${}\varphi :=\psi (x_{1},\ldots ,x_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})\,$

in den freien Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{r}$ ein Ausdruck, der die Faser über ${}P$ arithmetisch repräsentiert.

Zur gelösten Aufgabe