Arithmetisch repräsentierbar/Polynom/1/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist wohldefiniert, da der Ausdruck

${}-z^{2}+2z^{3}=z^{2}(2z-1)\,$

für ${}z\in \mathbb {N}$ nie negativ wird. Es sei

${}\psi (x,y,z,w):=x\cdot y\cdot y+z\cdot z\cdot z+z\cdot z\cdot z=w+z\cdot z\,.$

Für beliebige natürliche Zahlen ${}(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})\in \mathbb {N} ^{4}$ gilt dann

$\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})$

genau dann, wenn in ${}\mathbb {N}$ die Gleichheit

${}n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}=n_{4}+n_{3}\cdot n_{3}\,$

gilt, was genau dann der Fall ist, wenn in ${}\mathbb {N}$ die Gleichheit

${}n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}-n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}\,$

bzw.

${}n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}^{2}-n_{3}^{2}+2n_{3}^{3}\,,$

also

${}n_{4}=f(n_{1},n_{2},n_{3})\,$

gilt. Der Ausdruck ${}\psi$ repräsentiert also arithmetisch die Funktion ${}f$.

Zur gelösten Aufgabe